경영학과가 들은 수학과 과목들 정리

그동안 내가 들었던 수학 과목들에 대한 간단한 설명을 하고자 한다.

향후 원전공이 경영학과면서 수학과를 복수전공하려고 하는 학생에게 도움이 되었으면 좋겠다. 난이도와 중요도는 주관적으로 판단한 것이니 그냥 그렇구나 정도로만 받아들이면 될 듯 하다. 선수과목은 해당 과목을 듣기 전 기 수강하였다면 시너지가 날 과목들이다.

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04/19/2020 업데이트

 블로그 통계를 확인해 보니 많은 사람들이 이 주제에 대해 관심이 많은 것 같다. 그래서 내용을 좀 더 추가/보강하였다. 이 주제에 관심이 있는 사람들은 경영학 수학 복수전공의 이모저모 글도 읽어보면 좋을 것 같다. 

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<기초>-------------------------------------------

- 미분적분학2: 난이도 (2/5). 중요도 (2/5)

 미분적분학1에서는 일변수의 미분과 적분을 다루었다면 미분적분학2에서는 본격적으로 다변수의 미분과 적분을 다룬다. curl, curvature 등의 생소한 개념도 등장하며 이중적분 및 green정리, gauss정리 및 stokes정리등을 배운다. 사실 경영학과에서 나오는 대부분의 수학은 미분적분학1로 커버 가능하기에 학점이 부족한 경우 크게 듣지 않아도 상관 없을 듯 하다.

 

- 선형대수학: 난이도 (1/5). 중요도 (5/5)

 선형대수학의 경우 교수님이 누구냐에 따라, 목적이 무엇이냐에 따라 난이도가 심하게 변할 수 있다. 나의 경우는 인문사회캠퍼스에서 열리는 선형대수학을 들었다. 주요 수강 대상이 수학과가 아닌 경제학과, 통계학과였기에 내용이 매우 쉬웠다. Crammer법칙 등 굵직굵직한 내용을 배우고 실제로 문제를 많이 풀어보는 수업이었다. 선형대수학은 isomorphism등의 핵심 개념을 비롯해서 row reduction technique등 실질적 system을 풀 수 있는 기본 배경을 제공하기 때문에 중요도는 매우 높다. 특히 퀀트마케팅 등 excel이나 sas, spss를 많이 돌려야하는 사람들에게 선형대수학은 너무너무 중요하다.

 

- Statistical Analysis 1: 난이도 (1/5). 중요도 (4/5)

 교재는 수리통계학 교재를 사용하였다. 기본 분포들에서 시작해서 점추정, 구간추정, 회귀분석 앞부분까지 진도를 나갔다. 내용자체는 크게 어렵지는 않다. 특히 고등학교와 연관되는 부분이 많다. 그러나 이중적분 등이 익숙하지 않을 경우 난이도가 높아질 수 있다. 그러나 개념적으로 어려운 내용은 아니니 계산만 익숙해지면 쉽게 따라갈 수 있다. 뒤에 나오는 t-test 및 anova 분석, 회귀분석은 기초적이지만 모든 논문에서 나올 내용이니 꼭 익히도록 한다.

 

 

<전공기반>----------------------------------------

- 해석학1: 난이도 (4/5). 중요도 (4/5). 선수과목: 미분적분학1

 해석학은 정말 너무 어렵다. 우스갯소리로 해석학을 듣는순간 A+은 A로, A는 B+로 해석학 이외의 학점들이 한 단계씩 내려간다고까지 할 정도이다. 나름 글로벌경영학과에서 전공 4.5 만점에 4.24로 학점따는 건 어렵지 않다고 생각했는데 이 과목은 너무너무 어려웠다. 그럼에도 불구하고 해석학이 중요한 이유는 앞으로 해 나갈 수학전공의 기초가 되기 때문이다.

 해석학1에서는 실수체계 및 1차원 유클리디안 평면에서의 미분, 적분을 엄밀하게 정의한다. 책은 marsden책으로 한번, wade책으로 한번 배웠다. 해석학에서 가장 유명한 책은 rudin의 mathematical analysis라는데, 내용 자체가 많이 어려워서 혹시라도 교수님이 이 책으로 수업한다고 하시면 각오 단단히 하고 가는 것이 좋겠다.

  

- 해석학2: 난이도(4/5), 중요도(3/5). 선수과목: 미분적분학2

 해석학1에 이은 해석학2이다. 해석학2에서는 n차원 유클리디안 평면에서의 미분, 적분을 엄밀하게 정의한다. 또한 유클리디안 평면에서 정의되는 Topology를 배우고, metric space에 대한 간략한 맛을 본다. 해석학2 자체가 미분적분학2에서 나오는 내용들을 엄밀하게 증명하기 때문에 경영학과 전공과의 연관성은 솔직히 크게 없는 것 같다. 그래도 해석학을 통해 수학적 논리를 훈련하기 때문에, 논리력을 키운다는 차원에서는 들을 만 하다. 다만 해석학2도 너무나 어렵기 때문에 학점 보장은 못한다.

 

- 위상수학1: 난이도(3/5). 중요도(4/5). 선수과목: 해석학1, 해석학2

 해석학1에서 배운 내용을 위상적 성질로 새로 정의한다. 내용 자체는 해석학2에서 배운 위상수학과 겹치는 내용도 많아서 초반에는 꽤 용이하게 이해할 수 있다. torus등의 것도 배우며 머리가 좋은 사람들이 득세하는 과목이다. 위상수학정도는 들어야 수학과를 제대로 전공했다고 할 만 하다.

 

- 미분방정식: 난이도(2/5). 중요도(2/5). 선수과목: 미분적분학1

 해석학1이 엄밀하게 수학적 내용을 증명하는 것이라면, 미분방정식은 방정식을 풀어 해를 구한다. 마치 고등학교때 열심히 방정식 풀던 것과 비슷하다고 생각하면 된다. 내용 자체는 크게 어렵지는 않으나 경영학과와의 연관성은 크게 찾기 힘들다. 나중에 편미분방정식을 통해 블랙-숄즈 방정식을 풀어낼 때 조금은 배경지식으로 될 수도 있겠다. 주로 해석학1의 논리의 늪에서 헤매다가 미분방정식에서 방정식을 풀며 스트레스를 푸는(?) 정도이다.

 

- 응용미분방정식: 난이도(2/5). 중요도(2/5). 선수과목: 미분적분학1, 미분방정식. 선형대수학

 미분방정식이 일변수 미분방정식이였다면 응용미분방정식은 다변수 미분방정식을 푸는 과정이다. Systems of ordinary differential equations를 푸는 과정이기 때문에 행렬이 필수적으로 들어간다. 난이도는 pendulum등 경영학과에게는 익숙하지 않은 응용문제가 나오면 확 뛰겠지만, 내가 들은 수업에서는 Picard`s theorem, Grownall`s lemma 증명 등 증명문제가 주로 나왔기 때문에 그렇게 어렵지는 않았다. 주로 미분방정식과 응용미분방정식은 화학과, 물리학과가 듣는다.

 

- 정수론: 난이도(2/5 - 일반 사람들. 5/5 - 나 주관적). 중요도(2/5)

 가우스가 ‘수학은 학문의 여왕, 정수론은 수학의 여왕.’ 뭐 이렇게 이야기했을 정도로 순수수학의 꽃이다. 근데 난 너무 이 과목이 어려웠다. 예전 올림피아드 준비할 때도 정수론은 일치감치 포기했었는데, 여전히 대학교 와서도 너무 어려웠다. 과학고 출신들은 수업 하나도 안 들어도 시험 잘 보는데, 난 예습 복습 철저하게하고 과제도 성실하게 했는데 막상 시험은 망쳤다. 머리 좋은 학생들이 가장 크게 덕을 볼 수 있는 과목이다. 경영학과와의 연관성은 크게 없다. 그러나 수학과라면 들어야하는 과목들(해석학, 정수론, 위상수학 등) 중 하나이다. 참고로 나는 C+을 받아서 지우개로 삭제했다.

  

- 수치해석학: 난이도(2/5). 중요도(4/5). 선수과목: 미분적분학1
 Numerical Analysis라지만 주로 numerical한 부분에 초점을 맞추고 있으며 analysis는 해석학과는 별 관련이 없다. 가르치는 교수님의 연구분야에 따라 이 과목은 굉장히 달라질 수 있기에 syllabus를 미리 확인하는 것을 추천한다. 내가 주로 배웠던 내용은 컴퓨터를 이용하여 복잡한 방정식의 해를 구하는 방법을 주로 배웠다. 이 과목은 특히 나중에 quantative한 연구를 할 생각이 있는 경영학과 학생들이라면 꼭 들어야 한다고 생각한다. 어차피 나중에는 컴퓨터를 이용해서 시뮬레이션을 하고 결과를 내야 하기 때문이다. 다만 Maple이나 Matlab 등 경영학과에서는 주로 사용하지 않는 프로그램을 사용하기 때문에 그건 약간의 흠이다.

 

<전공심화>----------------------------------

- 해석학특강: 난이도(5/5). 중요도(3/5). 선수과목: 미분적분학1, 해석학1, 위상수학

 정말 너무나 어려웠던 과목이다. 푸리에(Periodic, Almost periodic)와 함수해석학에서 다루는 추상공간(Metric space, Banach space, Hilbert space)에 대해서 배웠다. 푸리에 자체도 어려운데 Almost periodic function에서의 푸리에급수가 어떻게 전개되는지, Parseval identity는 어떻게 정의되는지 등...... 해석학1이 그냥 커피였다면 해석학특강은 티오피다. 함수해석학에서는 해석학1에서 배우지 않았던 다양한 추상공간에 대해서 배웠다. Finance의 phD 과정에서 L2 함수가 나오는데, 해석학특강에서는 Hilbert 공간에서 정의되는 incomplete한 l2함수를 completion하여 얻을 수 있는 함수로만 확인한다. L2 함수는 실변수함수론에서 measure theory할 때 배운다고 한다.

 해석학특강의 중요도 자체는 경영학과의 전공들과 연관해보았을 때 크게 높지는 않다. 차라리 실해석학과 실변수함수론에서 배우는 measure theory가 훨씬 더 큰 연관이 있을 것이다. 그럼에도 불구하고 해석학특강은 추상공간에 대해서 심도 있게 배워본다는 점에 그 의의가 있다.

 

- 조합및그래프이론: 난이도(2/5). 중요도(3/5)

 조합론을 12주정도 배우고 그래프이론을 4주정도 배웠다. 조합론은 올림피아드 공부했던 사람들이면 많이 친숙할 것이다. 비둘기집의 원리, 중국인 나머지 정리 등을 배운다. 그래프이론의 경우 오일러의 한붓그리기문제 등을 배운다. 수학 관련 서적 대부분 나오는 내용이 정수론 아니면 조합론인데, 책을 많이 읽었다면 꽤 익숙할 것이다. 조합론과 그래프이론의 경우는 OR, OM에서의 Non-linear programming등에서 많이 사용된다고 한다. 주로 이 과목은 컴퓨터공학과 사람들이 많이 들었다.

- 수리통계학1: 난이도(2/5). 중요도 (6/5)
 만약 내가 들었던 모든 수학 과목들 중에서 하나를 골라야 한다면 이 과목으로 정하겠다. 너무나 중요하고 너무나 쓸모있다. 수학과에서 배우는 통계학은 measure theory를 기반으로 확률공간을 정의하고, 확률분포 및 검정/가정을 배우게 된다. 통계학과에서 이 과목을 배우는 것과 수학과에서 이 과목을 배우는 것의 가장 큰 다른점은 계산이 우선인가 증명이 우선인가라는 것인데 수학과에서는 엄밀히 증명하는 것을 우선순위로 삼는다. 그렇기 때문에 막상 배울 때는 "이걸 과연 써먹을 수 있을까?" 싶지만, 나중에 석/박사 과정으로 갔을 때 수학과에서 배웠던 수학적으로 엄밀한 수리통계학은 큰 힘을 발휘하게 된다. 

 - 응용수학: 난이도(3/5). 중요도 (5/5)
  응용수학? 응용하지 않는 수학도 있나? 싶을 정도로 naming이 엉망인 과목이다... 그러니 꼭 syllabus를 확인해야 한다. 내가 들었던 과목은 applied mathematics였으나 모든 내용은 financial mathematics였다. 경영학과에서는 절대 볼 수 없는 블랙-숄즈 방정식의 증명을 이 과목에서는 매우 엄밀하게 증명한다. 나는 이 과목이 어려웠으나, 너무나 즐거웠다. 경영학과에서는 아무리 교수님에게 제발 증명 대충 하지 마시고 제대로 하자고 해도 "어차피 너희들은 안돼"라는 식이었다. 그래서 참 많이 갈증이 많이 났었는데, 이 과목에서 그 갈증을 풀어주었기 때문이다. Finance를 생각하는 경영학과 학생이라면 무조건 듣는게 좋을 듯. 어디서도 들을 수 없다.

- 편미분방정식: 난이도(4/5). 중요도 (2/5)
 미분방정식을 배우고 나서 한 레벨을 업그레이드 하면 편미분방정식을 배운다. 내용 자체는 교수님에 따라 달라질 수 있으나 우리는 주로 아인슈타인의 법칙 / 공대에서 배우는 법칙들을 수학적으로 엄밀히 증명하는 걸 배웠다. 약간 기계적으로 편미분방정식을 푸는 걸 배운 것 같고, 이게 과연 경영학과에서 쓰일까?라는 거는 잘 모르겠다. 아마 finance에서 나중에는 사용할 수 있겠는데 그 이외의 과목에서는 절대 쓰일 일 없을 것 같다.

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결론:

 만약 내가 경영학과이고 꼭 수학과 과목을 들어야 한다면, 나같으면 "해석학1", "수리통계학1", 그리고 "선형대수학"을 듣겠다.

 내가 나중에 finance를 할 것이라면 "응용수학" 과 "수치해석학" 을 추가로 듣겠다.
 내가 나중에 OR을 할 것이라면 "조합및그래프이론" 과 "수치해석학"을 추가로 듣겠다.